《信息技术环境下的数学教学设计》结题报告

概要：除上述成果外，通过实验更重要的成果与影响表现在以下几个方面：（一）典型案例分析普通高级中学实验教科书（信息技术整合本 数学）第二章《函数》是学生使用信息技术帮助数学学习较充分的一章，特别是图形计算器画函数图象的功能、列表的表达方式，极大地拓展了师生教与学的空间，学生的自主探究性学习较易实现． 案例一 渐近线 在一次测验中，为了考查学生对基本函数图象的掌握情况，设置了一个画函数图象简图的题目，其中一个函数是 （测验时不允许使用图形计算器），让我感到奇怪的是实验班（使用信息技术整合本 《 数学》并配有图形计算器的班级）的部分同学“画蛇添足”，在y轴负半轴的某个位置画了一个空心点，从这个点引出一条上升的曲线，而非实验班的同学却没有这样画的．为什么呢？我找来出现此种错误的学生询问，他们指着图形计算器上的图象说：“上面就是这样画的，考虑到对数的真数不能为0，而没有定义的点应当是空心点，就想当然地这样画了．”我回忆在两个班（一个实验班，一个非实验班）的教学中对函数图象的处理情况，实验班学生依赖图形计算器

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　　除上述成果外，通过实验更重要的成果与影响表现在以下几个方面：
　　（一）典型案例分析
　　普通高级中学实验教科书（信息技术整合本  数学）第二章《函数》是学生使用信息技术帮助数学学习较充分的一章，特别是图形计算器画函数图象的功能、列表的表达方式，极大地拓展了师生教与学的空间，学生的自主探究性学习较易实现．
 
                                  案例一    渐近线
 　　在一次测验中，为了考查学生对基本函数图象的掌握情况，设置了一个画函数图象简图的题目，其中一个函数是 （测验时不允许使用图形计算器），让我感到奇怪的是实验班（使用信息技术整合本 《 数学》并配有图形计算器的班级）的部分同学“画蛇添足”，在y轴负半轴的某个位置画了一个空心点，从这个点引出一条上升的曲线，而非实验班的同学却没有这样画的．为什么呢？我找来出现此种错误的学生询问，他们指着图形计算器上的图象说：“上面就是这样画的，考虑到对数的真数不能为0，而没有定义的点应当是空心点，就想当然地这样画了．”我回忆在两个班（一个实验班，一个非实验班）的教学中对函数图象的处理情况，实验班学生依赖图形计算器画图，师生都极少亲自描点作图，非实验班的同学没有机器可以依赖，尽管不能接触丰富的函数图象，可是所学的几个基本函数图象却是师生共同经历了计算、列表、描点、画图的过程，记忆相对深刻，考试中如果考查纸笔画图，他们未必处于劣势．看来，图形计算器在函数学习中的应用不能简单地仅画画图象，还应当将这一功能与纸笔运算、逻辑推理、列表作图之间达成一种平衡，更要发挥信息技术的优势，追求对数学知识的深刻理解．
学生在测验中的错误反映了他们并未真正明白对数函数在x = 0附近的变化情况，对这种“无限接近”的理解有困惑，于是，我提前引入“渐近线”的概念，首先列出函数值表,改变步长（分别设步长为Δx = 0.1, 0.001, 0.000 1, ……），观察函数值在x = 0附近的变化，不论步长如何小，开头两行的函数值的差始终保持不变，体会第一行中“”的含义；然后又回到函数图象，在应该有图象而没有显示出来的地方，用计算器的局部放大功能（zoombox）放大，屏幕上出现一段图象，它与y轴*得很近，几乎与y轴平行．后来再次讨论函数时，我们也研究了它与函数的图象的关系，为了说明直线 是函数的渐近线，仍然同时列出两个函数的函数值表，设步长为x=10，发现随着的增大，两函数值非常接近，有一个同学突然发言“怎么当x=100时两函数值相等”，这与推理结论相矛盾的“意外”发现引起了学生们的兴趣，又有一同学提议输入函数看看，结果当x=100时函数值并不相等，经过讨论，终于认识到都是近似运算惹的祸，表格中的数据要求保留四位有效数字，两数的差如果小于0.01，屏幕上的显示结果一样，当时，与的前四位有效数字一致，但的第四位有效数字是小数点后第四位，因此，上述“意外”又在情理之中．用局部放大功能也显示，看起来重合的两条曲线事实上并没有重合，一次放大不清楚还可以二次放大，三次放大……，直到看清楚，就象显微镜一样，细微的关系也会明明白白呈现在你眼前．
　　这一案例让我体会到，学数学的真谛在于思考，同学们面对数学问题时，先不要急于按计算器，想一想，图象应该在哪几个区域，走势会如何，操作计算器验证，灵活应用多种功能，充分利用多元联系的表示方法，既要看得清楚，更要想个明白，所谓先想再操作；弄清了“是什么”，思考“为什么”，“怎么做”，“说明了什么”等才是深化对数学本质理解的关键．因此，我要求学生按照“想、作、思”的步骤使用计算器，动脑筋、勤思考才能学好函数．
            案例二      函数图象大比拼
　　年轻人总是充满了好奇，学生应用计数算器绝对不仅仅限于教学内容，我们先来看下面来自学生心得体会的摘录：
　　同学A：“拿到计算器后，我不停地探索不同的功能，画许多函数的图象，通过不同符号的组合画不同的图象，记得曾画过心跳的图象，从1次到次，从指数到对数，一切想到的函数关系，都能找到一个图象，只有想不到，没有做不到，我们便开始比哪个的更怪异、更好看，寻求其中的对称美与不对称美．”
　　同学B：“学习函数时，有的同学课上课下都在玩计算器器，希望能够发现一块别人未曾找到的新大陆；同学们对于把这个计算器玩出名堂的人很崇拜．比如说刘效林，他在教大家如何表示绝对值时表情很神气，还有王海晨，他画出“耐克”函数之后，大家简直佩服得不了．”
　　同学C：“还有一次我忽然想，，的图象是什么，于是就拿起图形计算器开始按，发现是一些奇怪的图形；如果没有计算器，这样的好奇心与想象力该如何满足？我可能永远不会去思考，，之类古怪的函数，计算器启发了我们的好奇心．”
　　同学D：“大家都满怀好奇进入这奇妙的数学世界，一回生二回熟，随着‘耐克函数’、‘麦当劳函数’相继诞生，我们画出的不仅仅是函数的图象，也是一些优美线条的组合，于是手中的计算器就活了，一到下课，前后左右的同学都拿出‘武器’来进行图形大比拼，比谁的图象最好看、最复杂、最新奇、最有美学价值，机器似乎变成了玩具，我们从中受益匪浅，脑中的数学世界活了，寓教于乐，两全其美，爱数学从图形计算器开始．”
　　同学E：一天，同桌拿着图形计算器给我看上面一个标准的阿迪达思标志，我想这不可能，因为它不可能是一个函数的图象呀，可眼前的一切都是真的，过后他悄悄告诉我，这是用描点画图搞出来的，我高呼上当，后来我也用这种办法将自己的名字弄到屏幕上，去骗那些还不知道这项技术的同学．又有一次当我输入时，发现它的图象是个半圆，我就想能不能弄出一个圆呢，和同桌研究了一节课，恍然大悟，再画一个和它对称的半圆不就行了，解析式应该是，输进去的结果正如所料，当时那份高兴难以形容．”
　　在许多学生眼中，数学是枯燥无味的，因此，让学生喜欢数学既是让学生学好数学的手段，也是改变数学在人们心目中形象的需要．引入图形计算器在一定程度上激发了学生学习数学的热情，但仅仅去追求一些新奇的、表面的东西就偏离了数学的本质．我在想，学生面对各种各样的图象时，想过为什么它会是这样吗？“耐克函数”、“麦当劳函数”这样的名字是怎么想出来的？同学怎么将与半圆联系起来的？通过个别交流、访谈，背后的故事给了我一些启发．
　　在整合本教材中我们讨论过函数，由于它的图象在第一象限的部分与耐克商标相象，一些熟悉的篮球迷对此倍感亲切，于是，在课堂上有同学将它命名为“耐克函数”，命名者受到大家的推崇，另一同学就想，其它著名商标有没有可以用函数图象表示的，因为他回家经常要路过一家麦当劳店，他想起了麦当劳标志，下课后他提出了这一想法，立即引起很多同学的兴趣．他们构造函数时首先想到图象应该关于轴对称、偶函数，但想到绝对值、二次函数、分段表示的是班上的数学高手．可见，真正的探究源于兴趣，创设情景很重要（这一次是同学自己创设的），很多人去研究，但往往只有少数人才能在关键处取得突破，而后通过交流，逐渐传播开来．过了一段时间，我进行了一次调查，提出问题者和率先解决问题者，以及少数几个主要传播者对情景还记忆犹新，能迅速写出解析式，多数同学知道有这么回事，但想不起解析式，也不知道如何解决这一问题．
　　两个案例都是发生在教学中的真实故事，既让我们看到图形计算器对教师教、学生学的有力支持，也让我们感到要让学生进行高水平的思维活动并非易事．按机器前先想一想，面对的数学问题是什么，猜想一下结果会怎样，估计一下走势或图象，操作中多动脑筋，切忌一按了之，对图象、数据的反思尤为重要，它既是验证一个问题的结束，更是另外一系列问题的开始，“想、作、思”应成为学习数学的一种习惯．
　　（二）探索图象变换的规律
　　在缺乏技术支持的环境中高一学生学习函数这一内容时，往往把函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法不能有效联系在一起用于解决问题，特别由数思形的能力更显不足．如何帮助学生更好地建立这种多元联系表示呢？笔者曾做过这样一个尝试：

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