整式的乘法与除法

概要： 中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法． 整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法则：(1)aM· an=aM+n； (2)(ab)n=anbn；(3)(aM)n=aMn； (4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)； 常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2； (4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=

    中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．

　　整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．

　　正整数指数幂的运算法则：

　　(1)a^M· aⁿ=a^M+n； (2)(ab)ⁿ=aⁿbⁿ；

　　(3)(a^M)ⁿ=a^Mn； (4)a^M÷aⁿ=a^M-n(a≠0，m＞n)；

　　常用的乘法公式：

　　(1)(a+b)(a+b)=a²-b²；

　　(2)(a±b)²=a2±2ab+b²；

　　(4)(d±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³；　　

　　(5)(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．

　　例1 求[x³-(x-1)²](x-1)展开后，x²项的系数 ．

　　解 [x³-(x-1)²](x-1)=x³(x-1)-(x-1)³．因为x²项只在-(x-1)³中出现，所以只要看-(x-1)³=(1-x)³中x²项的系数即可．根据乘法公式有

(1-x)³=1-3x+3x²-x³，

　　所以x²项的系数为3．

　　说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．

　　(x-2)(x²-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)²．

　　解 原式=(x³-2x²+4x-2x²+4x-8)-x(x²-9)+(4x²-4x+1)

　　　　 　=(x³-4x²+8x-8)-(x³-9x)+(4x²-4x+1)

　　　　　 =13x-7=9-7=2．

　　说明 注意本例中(x-2)(x²-2x+4)≠x³-8．

　　例3 化简(1+x)[1-x+x²-x³+…+(-x)^n-1]，其中n为大于1的整数．

　　解 原式=1-x+x²-x³+…+(-x)^n-1

　　　　　　　+x-x²+x³+…-(-x)^n-1+(-x)ⁿ

　　　　　 =1+(-x)ⁿ．

　　说明 本例可推广为一个一般的形式：

(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1)=aⁿ-bⁿ．

　　例4 计算

　　(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；

　　(2)(x+2y)(x-2y)(x⁴-8x²y²+16y⁴)．

　　分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．

　　原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2

　　 　　=c²+b²+d²+2bd-2bc-2cd-a²．

　　(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x²-4y²，这个结果与多项式x⁴-8x²y²+16y⁴相乘时，不能直接应用公式，但

x⁴-8x²y²+16y⁴=(x²-4y²)²

　　与前两个因式相乘的结果x²-4y²相乘时就可以利用立方差公式了．

　　原式=(x²-4y²)(x²-4y²)²

　　　　=(x²)³-3(x²)²(4y²)+3x²·(4y²)²-(4y²)³

　　　　=x⁶-12x⁴y²+48x²y⁴-64y⁶．

　　例5 设x，y，z为实数，且

(y-z)²+(x-y)²+(z-x)²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(y+z-2x)²+(x+z-2y)²+(x+y-2z)²，

　　解 先将已知条件化简：

左边=2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz，

右边=6x²+6y²+6z²-6xy-6yz-6xz．

　　所以已知条件变形为

2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2xz=0，

　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²=0．

　　因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以

　　说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．

　　我们把形如

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

　　(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．

　　多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．

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