第三讲 求代数式的值

概要：用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧． 例1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2&tim

　用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．

　　例1 求下列代数式的值：

　　分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

　　　　　　　　=0-4a³b²-a²b-5

　　　　　　　　=-4×1³×(- 2)²- 1²×(-2)-5

　　　　　　　　=-16+2-5=-19．

　　(2)原式=3x²y-xyz+(2xyz-x²z)+4x²?[3x²y-(xyz-5x²z)]

　　　　　 =3x²y-xyz+2xyz-x²z+4x²z-3x²y+(xyz-5x²z)

　　　　 　=(3x²y-3x²y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x²z+4x²z-5x²z)

　　　　　 =2xyz-2x²z

　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)

　　　　 　=12+6=18．

　　说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．

　　例2 已知a-b=-1，求a³+3ab-b³的值．

　　分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．

　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简

　　a³+3ab-b³=(b-1)³+3(b-1)b-b³

　 　　　 　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3

　 　　　 　=-1．

　　说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．

　　解法2 因为a-b=-1，所以

　　 原式=(a³-b³)+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab

　　　　=-1×(a²+ab+b²)+3ab=-a²-ab-b²+3ab

　　　　=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)²

　　　　=-(-1)²=-1．

　　说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以

　　原式=a³-3ab(-1)-b³=a³-3ab(a-b)-b³

　　　　 =a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³

　　　　 =(-1)³=-1．

　　说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．

　　解法4 因为a-b=-1，所以

(a-b)³=(-1)³=1，

　　即 a³+3ab²-3a²b-b³=-1，

a³-b³-3ab(a-b)=-1，

　　所以 a³-b³-3ab(-1)=-1，

　　即 a³-b³+3ab=-1．

　　说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．

　　解法 5

　　a³+3ab-b³=a³+3ab²-3a²b-b³-3ab²+3a²b+3ab

　　　　　　=(a-b)³+3ab(a-b)+3ab

　　　　　　=(-1)³+3ab(-1)+3ab

　　　　　　=-1．

　　说明 这种解法是添项，凑出(a-b)³，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：

(a+b)²=a²+2ab+b²；

(a-b)²=a²-2ab+b²；

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ ；

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)．

　　解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以