“设而不求”的未知数

a₂+b²+2ab=6． ④

　　把②，③代入④式得

4+4S=6，

　　在这个题目中，只要求出未知数S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求a，b的值．但是由于增设了a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．

　　所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．

　　例2若

　　求x+y+z的值．

　　分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比．

　　解 令

　　则有

x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，

　　所以

x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，

　　所以 x+y+Z=0．

　　说明 本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．

　　例3 已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求

　　解 不妨设p=5k₁，q=5k₂，r=5k₃，由题意可知，k₁，k₂，k₃都是整数．因为r＞q＞p，所以k₃＞k₂＞k₁．又因为

r=p+10，

　　所以 5k₃=5k₁+10，

k₃=k₁+2， ①

　　所以 k₁+2＞k₂＞k₁，

　　所以 k₂=k₁+1． ②

　　将①，②代入所求的代数式得

　　说明 本题中k₁，k₂，k₃均是“设而不求”的未知数．

a＞1，并且设

　　分子：n-13=ak1，①

　　分母：5n+6=ak2．②

　　其中k₁，k₂为自然数．

　　由①得n=13+ak₁，将之代入②得

5(13+ak₁)+6=ak₂，

　　即 　　　　　　　　　　　　　　　71+5ak₁=ak₂，

　　所以 　　　　　　　　　　　　　　a(k₂-5k₁)=71．

　　由于71是质数，且a＞1，所以a＝71，所以

n=k₁·71+13．

　　故n最小为84．

　　例5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？

　　解 设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有

　　由上述四式可知

　　比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得

所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．

　　说明 此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．

　　例6 设有n个数x₁，x₂，…，x_n，它们的值只能是0，1，2三个数中的一个，如果记

　　试用f₁和f₂表示

　　解 设在x₁，x₂，…，x_n这几个数中取值为0的有s个，取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得

f₁=t+2r，f₂=t+4r．

　　所以

=(2_k-1)f₂-(2

　　说明 本题借助于s，t，r找到了f_k与f₁，f₂的关系表达式．

整除．根据一个数能被9整除的特征有

6+2+α+β+4+2+7=9m(m为自然数)，

　　即　　　　　　　　　　　　 α+β+3=9m1(m1为自然数)．

　　又由于　　　　0≤α≤9，0≤β≤9，则有

3≤α+β+3≤21，

　　从而有

α+β=6或α+β=15． ①

　　同理，按照一个数被11整除的特征有

α-β=-2或α-β=9． ②

　　①与②相结合，并考虑0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4．

　　所以原自然数为 6 224 427．

　　例8 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？

　　　=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)

　　　=99×a-99×c

　　　=100×a-100×c-100+90+10-a+c

　　　=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．

　　因k是三位数，所以

2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．

　　所以 　　　　　　　　　　　　　2≤10-a+c≤8．

　　差对调后为

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