绝对值

概要： 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立

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 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．

　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．

　　例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；

　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

　　(4)若｜a｜=b，则a=b；

　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；

　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．

　　解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．

　　(3)对．

　　(4)不对．当a≥0时成立．

　　(5)不对．当b＞0时成立．

　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．

　　例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

 

　　解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．

　　再根据绝对值的概念，得

｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．

　　于是有

　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

　　例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

　　分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜

　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

　　　　　 =｜-x｜=-x．

　　

　　解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．

　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；

　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；

　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

　　

　　说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．

　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

　　解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．

　　(1)当y=2时，x+y=-1；

　　(2)当y=-2时，x+y=-5．

　　所以x+y的值为-1或-5．

　　例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜¹⁹+｜c-a｜⁹⁹=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

　　解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜¹⁹，｜c-a｜⁹⁹为两个非负整数，和为1，所以只能是

　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①

　　或

　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②

　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有

｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，

　　所以

｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　

　　解 依相反数的意义有

｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．

　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得

2y=2009， y=1001，

　　所以

　　例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．

　　分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分(如图1－2所示)，即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　

　　　

　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　　

　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　　

　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．

　　即

　　　　　　　　

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　　说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．

　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．

　　分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．

　　解 有三个分界点：-3，1，-1．

　　(1)当x≤-3时，

y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，

由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．

　　(2)当-3≤x≤-1时，

y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，

由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．

　　(3)当-1≤x≤1时，

y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，

由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．

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