“设而不求”的未知数

概要：k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明 本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题．例9 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 ．解法1 设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有 整理得 5(q-p

k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，

　　所以

k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)

　　　　　　　+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　=1089．　

　　故　所求为1089．

　　说明 本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．

　　在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题．

　　例9 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？

　　分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 ．

　　解法1 设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有

整理得 　　　　　　　5(q-p)x=24(q-p)．

　　因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．

　　解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含

　　整理得 5x(n-m)=24(n-m)．

　　因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．

　　说明 在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．

　　例10 某队伍长1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．

　　解法1 设这个战士走过的路程为s米，所需要的时间为t小时(h)，

消去参数t得

解之得

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