概要: x=y+1或x=y-1. 与②结合有下面两个方程组 解(Ⅰ):把x=y+1代入|x|+2|y|=3得 |y+1|+2|y|=3. 组(Ⅰ)的解为 同理,解(Ⅱ)有 故原方程组的解为 例7 解方程组 解 由①得 x+y=|x-y|+2. 因为|x-y|≥0,所以x+y>0
含绝对值的方程及不等式,标签:儿童科普故事,儿童科普读物,http://www.99youjiao.comx=y+1或x=y-1.
与②结合有下面两个方程组
解(Ⅰ):把x=y+1代入|x|+2|y|=3得
|y+1|+2|y|=3.
组(Ⅰ)的解为
同理,解(Ⅱ)有
故原方程组的解为
例7 解方程组
解 由①得
x+y=|x-y|+2.
因为|x-y|≥0,所以x+y>0,所以|x+y|=x+y. ③
把③代入②有
x+y=x+2,
所以y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以
x-2=x, ④
或 x-2=-x. ⑤
④无解,所以只有解⑤得x=1.故
为原方程组的解.
说明 本题若按通常的解法,区分x+y≥0和x+y<0两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有x+y>0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程.
例8 解不等式|x-5|-|2x+3|<1.
<x≤5,x>5.
-(x-5)-[-(2x+3)]<1,
-(x-5)-(2x+3)<1,
(3)当x>5时,原不等式化为
x-5-(2x+3)<1,
解之得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解.
的解.
例9 解不等式1≤|3x-5|≤2.
www.99youjiao.com分析与解 此不等式实际上是
解 对|3x-5|≥1:
对|3x-5|≤2:
所以①与②的公共解应为
例 10 解不等式||x+3|-|x-3||>3.
解 从里往外去绝对值符号,将数轴分为x≤-3,-3<x≤3,x>3三段来讨论,于是原不等式化为如下三个不等式组.
即 x≤-3.
即 x>3.
说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不等式
分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法.
例11 当a取哪些值时,方程|x+2|+|x-1|=a有解?
解法1 (1)当x≤-2时,
|x+2|+|x-1|=-2x-1≥-2(-2)-1=3.
(2)当-2<x<1时,
|x+2|+|x-1|=x+2-x+1=3.
(3)当x≥1时,
|x+2|+|x-1|=2x+1≥2·1+1=3.
所以,只有当a≥3时,原方程有解.
解法2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|,故
|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3.
其中等号当-2≤x≤1时成立,所以当a≥3时,原方程有解.
练习七
1.解下列方程:
(1)|x+3|-|x-1|=x+1;
(2)||1+x|-1|=3x;
(3)|3x-2|-|x+1|=x+2;
(4)|3y-2|=-|5x-3|.
2.解方程组:
3.解下列不等式:
(2)5≤|5x-3|≤10;
(3)|x+1|+|4-x|<6;
(4)||x-1|-|x+2||>1.
4.若a>0,b<0,则方程|x-a|+|x-b|=a-b的解是什么?
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