线段与角

　　例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．

　　分析 因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．

　　解 若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则

　　MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．

　　若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时

　　MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．

　　线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．

　　例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后， 折到B处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？

　　分析 将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．

　　因此，羊群行走的路程为

A＇C＇+C＇B．

　　线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．

　　解 作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明

　　AC＇+C＇B＞AC+CB ①

　　即可．

　　利用线段基本性质及点关于直线的对称性知

AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，

　　所以

AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，

AC+CB=CA＇+CB=A＇B．

　　而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以

C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，

　　例4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．

　　分析 设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，

AB＜BC+CD+DE+EA．

　　如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．

　　解 设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．

　　例5 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．

　　分析 这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．

　　解 设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为

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